Question

（2011•河北區一模）設函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(m-1)x2+x+2
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（0，2）內有2個極值點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的取值，討論函數的單調性．
（Ⅱ）函數f（x）在區間（0，2）內有2個極值點，對應f'（x）=0在區間（0，2）內有兩個不等實根，然后利用根的分布去求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²+（m+1）x+1，…（2分）
①當△≤0，即（m-1）²-4≤0，-1≤m≤3時，
函數f（x）在（-∞，+∞）內單調遞增；…（4分）
②當△＞0，即m＜-1或m＞3時，
令f'（x）=0，解得x=

1-m± m2-2m-3

2

，…（6分）
所以，函數f（x）在(-∞，

1-m- m2-2m-3

2

)內單調遞增；
在(

1-m- m2-2m-3

2

，

1-m+ m2-2m-3

2

)內單調遞減；
在(

1-m+ m2-2m-3

2

，+∞)內單調遞增．…（8分）
（Ⅱ）若f'（x）=0在區間（0，2）內有兩個不等實根，
得

△＞0 0＜ 1-m 2 ＜2 f(2)＞0 f(1)＞0.

，解得-

3

2

＜m＜-1．…（13分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，對應參數問題，必須要對參數進行討論．