Question

已知f（x）=e^x，g（x）為其反函數．
（Ⅰ）說明函數f（x）與g（x）圖象的關系（只寫出結論即可）；
（Ⅱ）證明f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方；
（Ⅲ）設直線l與f（x）、g（x）均相切，切點分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求證：x₁＞1．

Answer 1

分析：（I）根據函數與其反函數的圖象關于y=x直線對稱．
（II）設h（x）=x，利用導數求得f（x）-h（x）=e^x-x的最小值大于0，從而得e^x＞x，利用導數求得h（x）-g（x）=x-lnx的最小值大于0，從而得x＞lnx，這樣可證明f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方．
（III）根據導數的幾何意義得直線的斜率為ex1=

1

x2

=

lnx2-ex1

x2-x1

，利用ex1＞0得0＜x₂＜1⇒lnx₂＜0⇒x₁＞x₂+1，可證x₁＞1．

解答：解：（Ⅰ）f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱．
（Ⅱ）g（x）=lnx，設h（x）=x
令y=f（x）-h（x）=e^x-x，y'=e^x-1
令y'=0，即e^x=1，解得x=0
當x＜0時y'＜0，當x＞0時y'＞0
∴當x=0時，ymin=e0-0=1＞0
∴e^x＞x
令y=h（x）-g（x）=x-lnx，y′=1-

1

x

=

x-1

x

(x＞0)
令y'=0，解得x=1
當0＜x＜1時y'＜0，當x＞1時y'＞0
∴當x=1時，y_min=1-ln1=1＞0
∴x＞lnx，（x＞0）
∴f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方．
（Ⅲ）f'（x）=e^x，g′(x)=

1

x

，切點的坐標分別為(x1，ex1)，(x2，lnx2)，可得方程組：

ex1= 1 x2 lnx2-ex1 x2-x1 =ex1

∵x₁＞x₂＞0，∴ex1＞1，∴

1

x2

＞1，∴0＜x₂＜1，
∴lnx₂＜0，又lnx₂-ex1=ex1（x₂-x₁），∴lnx₂=ex1（x₂-x₁+1）＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，
∴x₁＞x₂+1＞1，

點評：本題考查了導數幾何意義及應用，考查了函數的恒成立問題的證明，考查了學生的邏輯推理論證能力．綜合性強．