Question

已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值；
(2)求函數(shù)的極值；
(3)當(dāng)的值時(shí),若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn),求的最大值.
(注：可能會(huì)用到的導(dǎo)數(shù)公式：；）

Answer 1

(1)；(2) 當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極小值；當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值；(3)1．

解析試題分析：（1）依題意，，從而可求得的值；（2），分①時(shí)、②討論，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（3）令，則直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．分與討論即可得答案．
試題解析：(1)由,得.
又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸, 得,即,解得.
(2),
①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無(wú)極值.
②當(dāng)時(shí),令,得,. ,;,.
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值.
綜上，當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極小值；當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值.
(3)當(dāng)時(shí),，
令,
則直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn), 等價(jià)于方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解.
假設(shè),此時(shí),,
又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾,故