Question

（理科做）已知函數f（x）=lnx-a²x²+ax（a≥0）．
（1）當a=1時，證明函數f（x）只有一個零點；
（2）若函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函數，利用導數判斷出函數的單調性求出最值，判斷出最值的符號，然后分區間討論可得到零點的個數．
（2）方法一：對參數a進行討論，然后利用導數f′（x）≤0（注意函數的定義域）來解答，方法一是先解得單調減區間A，再與已知條件中的減區間（1，+∞）比較，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答參數的取值范圍；
方法二是要使函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，我們可以轉化為f′（x）≤0在區間（1，+∞）上恒成立的問題來求解，然后利用二次函數的單調區間于對稱軸的關系來解答也可達到目標．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1= -

2x2-x-1

x

       …（2分）
令f′（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．∵x＞0，
∴x=-

1

2

舍去．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0．
當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函數f（x）只有一個零點．             …（7分）
（2）顯然函數f（x）=lnx-a²x²+ax的定義域為是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2a x +1)(ax-1)

x

…（8分）
1當a=0時，f′(x)=

1

x

＞0，∴f（x）在區間（1，+∞）上為增函數，不合題意   …（9分）
2 當a＞0時，f′（x）≤0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax-1）≥0（x＞0），即x＞

1

a

此時f（x）的單調遞減區間為[

1

a

，+∞）．
依題意，得

1 a ≤1 a＞0

，解之得a≥1．  …（11分）
綜上，實數a的取值范圍是[1，+∞） …（14分）
法二：
①當a=0時，f′(x)=

1

x

＞0，∴f（x）在區間（1，+∞）上為增函數，不合題意…（9分）
②當a≠0時，要使函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，只需f′（x）≤0在區間（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，∴只要2a²x²-ax-1≥0，且a＞0時恒成立，
∴

a 4a2 ≤1 2a2-a-1≥0

解得a≥1
綜上，實數a的取值范圍是[1，+∞）  …（14分）

點評：本題考查函數的零點的存在性定理，綜合利用函數的導數來解決有關函數的單調性、最值等問題的能力，考查已知函數的單調性的條件下怎樣求解參數的范圍問題；本題始終圍繞參數a來設計問題，展開問題的討論，應用的工具就是函數的導數，這是現在高考的熱點，同樣也是難點，對參數的把握最能體現學生的能力與水平；本題還綜合考查了分類討論，函數與方程，配方法等數學思想與方法．