Question

設三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）當B銳角時，求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，根據sinA不為0求出sinB的值，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）所求式子利用誘導公式化簡，根據B為銳角確定出B的度數，代入后利用兩角和與差的正弦函數公式整理為一個角的正弦函數，根據A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出所求式子的取值范圍．

解答：解：（1）由正弦定理得：sinA=2sinB•sinA，
∵在△ABC中，sinA≠0，
∴sinB=

1

2

，
∴B=

π

6

或B=

5π

6

；
（2）∵B為銳角，即B=

π

6

，
∴cosA+sinC=cosA+sin[π-（A+B）]=cosA+sin（

π

6

+A）=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin（A+

π

3

），
∵A∈（0，

5π

6

），
∴A+

π

3

∈（

π

3

，

7π

6

），
∴sin（A+

π

3

）∈（-

1

2

，1]，
∴cosA+sinC的取值范圍為（-

3

2

，

3

]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．