Question

（本題滿分12分）

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式；

（2）試寫出一個區間，使得當時，且數列是遞增數列，并說明理由；

（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由恒成立等價于恒成立 ……1分

從而得：，化簡得，從而得，

所以，                                             ………3分

（2）解：若數列是遞增數列，則即：

  ………5分[ZXX又當時，，

所以有且，所以數列是遞增數列。        …………7分

注：本題的區間也可以是、、、………，等無窮多個.

（3）由（2）知，從而；

，

即；                                         ………8分

令，則有且；

從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，         

從而得，即，

所以 ，                           ……………………10分

所以，所以，

所以，

.………………………11分

即，所以，恒成立

（1）   當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。

（2）   當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。

所以，對任意，有。又非零整數，…………………12分

 

【解析】略