Question

已知函數y=

1+x 1-x

+lg(3-4x+x2)的定義域為M，
（1）求M；
（2）當x∈M時，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使函數有意義，須有

1+x 1-x ≥0 3-4x+x2＞0

，解出可得M；
（2）x∈M時，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等價于-2^x+2+3×4^x的最小值大于等于k，通過換元借助二次函數的性質可求得-2^x+2+3×4^x的最小值；

解答：解：（1）由

1+x 1-x ≥0 3-4x+x2＞0

，得

-1≤x＜1 x＜1或x＞3

，解得-1≤x＜1，
所以M={x|-1≤x＜1}；
（2）-2^x+2+3×4^x=-4•2^x+3•（2^x）²，
令t=2^x，因為x∈M，所以t∈[

1

2

，2），
則-4•2^x+3•（2^x）²=3t²-4t=3(t-

2

3

)2-

4

3

，
所以當t=

2

3

即x=log2

2

3

時，-2^x+2+3×4^x取得最小值-

4

3

，
-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等價于-

4

3

≥k，
所以實數k的取值范圍是k≤-

4

3

；

點評：本題考查函數恒成立問題、不等式的求解，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．