Question

已知橢圓M的兩個焦點(diǎn)分別為F₁(-1,0),F₂(1,0),P是橢圓上的一點(diǎn),且PF₁⊥PF₂,|PF₁|·|PF₂|=8.

(1)求橢圓M的方程;

(2)點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個端點(diǎn),且其縱坐標(biāo)大于零,點(diǎn)B、C是橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn),其中△ABC的重心是橢圓M的右焦點(diǎn),求直線BC的方程.

Answer 1

解:(1)設(shè)|PF₁|=m,|PF₂|=n,由已知得mn=8,由PF₁⊥PF₂,得m²+n²=4,

∴(m+n)²=m²+n²+2mn=20,即(2a)²=20,得a²=5.

∴b²=a²-c²=4.

故橢圓M的方程為+=1.

(2)設(shè)B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),直線BC的斜率為k,BC中點(diǎn)為(x₀,y₀),A(0,2).

顯然BC不會與x軸垂直,故x₁≠x₂,

則+=1,                              ①

+=1,                               ②

①-②得=.       ③  

由于F₂(1,0)是△ABC的重心,

所以=1,得x₀==,=0,得y₀==-1,

代入③得k=,

∴直線BC的方程為6x-5y-14=0.