Question

已知函數 ．
（Ⅰ）若a>0，函數y=f(x)在區間(a，a ²-3)上存在極值，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a>2，求證：函數y=f(x)在(0，2)上恰有一個零點．

Answer 1

（Ⅰ） ；
（Ⅱ），函數y=f(x)在(0，2)上恰有一個零點。

試題分析：（Ⅰ）由已知
令，解得或
 不在(a，a ²-3)內
要使函數y=f(x)在區間(a，a ²-3)上存在極值，只需
解得      6分
（Ⅱ） 
在（0，2）上恒成立，即函數數y=f(x)在（0，2）內單調遞減
又
函數y=f(x)在(0，2)上恰有一個零點      12分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及比較大小問題，通過構造函數，轉化成了研究函數的單調性及最值。涉及函數的零點問題，研究了函數的單調性及在區間端點的函數值的符號。