Question

【題目】如圖所示，一個邊長為L＝0.8 m(ab＝bc＝L)，高為h＝0.8 m的光滑實心立方體固定在水平面上(其中靠外面的cd邊所在豎直面足夠長，稱為“A面”)，上表面處有垂直cd邊的勻強電場，方向如圖，電場強度為E＝4 N/C，在立方體前方外有豎直向上的勻強磁場。今在a點以不同的速度v0沿ab邊射入質量為m、電荷量為q＝的帶正電的小球。試求：(本題可能用到的數據：g＝10 m/s2，π＝3.14，tan α分別等于2、3、4、5時，對應的α的弧度值分別為1.11、1.25、1.33、1.37。如果有碰撞皆為彈性碰撞，但與地面的碰撞是完全非彈性的，最終結果保留兩位小數)

(1)如果射入的小球都能從cd邊射出，求出速度v0的范圍？

(2)滿足條件(1)時，如果小球都能直接落在A面之前的水平面上，那么磁感應強度B應滿足什么條件？

(3)如果某個小球恰好從dc邊中點射出電場，落地點恰好在dc邊的正下方的邊線上，那么磁感應強度B多大？落地點與射出點的水平距離多大？

Answer 1

【答案】（1） （2）3.14T（3）3.62n(T);0.88m

【解析】

（1）根據平拋運動的規律求解速度v0的范圍；（2）根據圓周運動以及自由落體運動的規律求解磁感應強度B應滿足的條件；（3）根據圓周運動的規律，結合幾何關系求解磁感應強度B以及落地點與射出點的水平距離.

(1)L＝v0mt，L＝gt2

所以最大速度為則：v0m＝，0≤v0≤

0≤v0≤2.00 m/s

(2)如果直接從d點飛出對應的圓心角最小α＝π，做圓運動的最短時間為tmin＝

那么在tmin時間內小球必須著地，自由落體的時間t＝

又t≤tmin，則B≤＝3.14 T

(3)tan α＝＝4＝ (α＝1.33)，v0＝

下落過程中，可能與A面發生碰撞，碰撞后不影響豎直方向的運動，但對水平面的運動有影響，如圖是水平面內的運動情況圖。從M點射出，運動了圓心角為2π－2α角后在N點相碰，然后又運動了圓心角為2π－2α角后再次與A面相碰，因此可能運動了n個這樣的圓弧恰好落地，因此小球在磁場中運動的時間為：

t＝

其中n＝1，2，3……

豎直下落的時間為t′＝

所以t＝t′，則有：

則：B＝＝3.62n(T)(n＝1，2，3……)

射出的速度為v，半徑為R＝，圓心角為2π－2α，所以MN＝2Rsin α

MN＝，vsin α＝vy＝gt″＝g＝

所以

距射出點的水平距離為x＝MN·n＝m＝0.88 m