Question

【題目】在熱核反應中，磁場換流器可以控制帶電粒子的運動軌跡，其簡化模型圖如圖甲所示，通有電流的線圈在其內部形成柱狀的勻強磁場，磁場的截面圖如圖乙所示，磁場半徑為R，磁感應強度的大小為B，圓心位于O點。磁場中部有一接地的柱狀材料M，其截面圓的圓心也為O點，粒子若打到該材料，將被其吸收。在磁場的邊緣A點有一個粒子源，向磁場內部各個方向以某一恒定速率釋放質量為m，電荷量為q的負電粒子。建立直角坐標系如圖，A點為坐標原點，半徑OA與y軸重合。沿+y方向的粒子恰好不與中部柱狀材料M接觸，直接從磁場外邊沿C點射出磁場，C點坐標為（R，R）。不考慮粒子間的相互作用和重力。

（1）順這磁場方向看，線圈中的電流方向如何（回答順時針或逆時針）？求射入磁場的粒子的速度大小和柱狀材料M的橫截面積；

（2）求粒子穿過x=R直線時對應的y坐標范圍；

（3）若在磁場外邊緣加裝一光滑的特殊環形材料N，粒子與之碰撞時都是完全彈性碰撞的，每次碰撞后粒子的電荷量不變。現使粒子源的速度大小可調，發射方向限制在第一象限方向，某粒子在磁場中運動經時間恰好與材料N發生第6次碰撞，碰撞點為D（0，2R），求該粒子在A點發射的速度方向和大小。

Answer 1

【答案】（1）電流方向為順時針方向，，； （2）i：[0，R]，ii：[，2R]； （3）或

【解析】

（1）由安培定則得：電流方向為順時針方向

由粒子做勻圓周運動有：

得：

由幾何關系得：柱狀材料M的半徑

柱狀材料M的橫截面積為：

（2）i：粒子初速度方向為第一象限時：穿過x=R直線y坐標范圍是[0，R]

ii：當粒子初速度方向為第二象限時：設某粒子軌跡恰好與材料M內切如圖：

軌跡圓心為點，由幾何關系得：為菱形

所以粒子在射出點P的速度方向沿+x方向

該+x方向與入射角無關，則所有粒子出磁場時速度均沿+x方向。

設從P點射出的粒子交x=R直線于點。

由幾何關系得：

所以：

點的y坐標為

穿過x=R直線的y坐標范圍是[，2R]

（3）每次碰撞在N邊界上轉過弧度，共碰撞6次

所以：

即：

每次碰撞軌跡圓心角為，總時間恰為一個周期

所以：

即：

由正弦定理得：

又：

設入射時與+y的夾角為i

由幾何關系得：

上述三式得：

將代入上式得只能取k=0，1

i.k=0時，粒子發射的方向為與+y夾角為

代入得：

ii.k=1時，粒子發射的方向為與+y夾角為

代入得：