Question

已知函數，其中a為正實數，e=2.718…．
（I）若是y=f（x）的一個極值點，求a的值；
（II）求f（x）的單調區間．

Answer 1

解：f′（x）=．
（I）因為x=是函數y=f（x）的一個極值點，
所以f′（）=0，
因此a-a+1=0，
解得a=．
經檢驗，當a=時，x=是y=f（x）的一個極值點，故所求a的值為．…（4分）
（II）f′（x）=（a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）當△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1時，方程①兩根為
x₁==，x₂=．
此時f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，）		（，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當a＞1時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，），（，+∞）； f（x）的單調遞減區間為（，）．
（ii）當△=4a²-4a≤0時，即0＜a≤1時，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此時f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
所以當0＜a≤1時，f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）．…（13分）
分析：（I）依題意，由f′（）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，將f′（x）與f（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調區間．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值，考查利用導數研究函數的單調性，求得f′（x）=0之后，將f′（x）與f（x）的變化情況列表是關鍵，屬于中檔題．