Question

設命題p：?x₀∈R，x₀²-2ax₀+2-a=0，命題q：?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1），如果命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

當命題p為真時，則方程x²-2ax+2-a=0有實根，
即△=4a²-4（2-a）≥0⇒a≥1或a≤-2，
當q為真時，即?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1）恒成立，
由于f（x）=log₁₆（3x+1）在[1，+∞）上是增函數，
所以f（x）的最小值是log₁₆（3×1+1）=

1

2

，
又a≤log₁₆（3x+1）恒成立?a≤f（x）_min所以a≤

1

2

，
因為命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，從而p，q中一真一假．
當p真q假時即

a≥1或a≤-2 a＞ 1 2

⇒a≥1；
當p假q真時即

-2＜a＜1 a≤ 1 2

_⇒-2＜a≤

1

2

．
綜上a≥1或-2＜a≤

1

2

故實數a的取值范圍是a≥1或-2＜a≤

1

2

．