Question

如圖所示，、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，、為兩個頂點，已知頂點到、兩點的距離之和為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求橢圓上任意一點到右焦點的距離的最小值；
（3）作的平行線交橢圓于、兩點，求弦長的最大值，并求取最大值時的面積.

Answer 1

（1）；（2）；（3），.

解析試題分析：（1）求橢圓方程需遵循定型、定位、定量，這里結合橢圓定義不難求得方程；（2）首先寫出表達式然后將關于的二元問題轉化為關于的一元問題，歸結為函數求最值，注意的隱含條件；（3）求直線被曲線截得的弦長是解析幾何中的常見問題，求出弦長的表達式然后求最值，一般要關注判別式，否則易犯錯.
試題解析：（1）由已知得，∴橢圓的方程為             2分
（2） ∵,且，
∴                  4分
∴僅當為右頂點時                                        5分
（3）設， ∵，∴可設直線的方程為：，代入，得                                                  7分
由韋達定理知：，，                             9分
又,
∴

僅當時，                                                 12分
而此時點到直線：的距離，
∴.                                              13分
考點：1.橢圓方程與性質的互求；2.直線與橢圓的常規問題.