Question

設函數.
(1)求函數的單調區間和極值。
(2)若關于的方程有三個不同實根，求實數的取值范圍；
(3)已知當(1，＋∞)時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調減區間為(－，)．當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；當x＝時，f(x)有極小值5－4. 
（2）－4<a<5＋4
（3）k≤－3

試題分析：(1) 解：f′(x)＝3x²－6，令f′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.
因為當x>或x<－時，f′(x)>0；當－<x<時，f′(x)<0.
所以f(x)的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調減區間為(－，)．
當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；
當x＝時，f(x)有極小值5－4.                           ---————-3分
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當5－4<a<5＋4時，直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同交點，即方程f(x)＝a有三個不同的       6分
(3) 解：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．
因為x>1，所以k≤x²＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x²＋x－5，此函數在(1，＋∞)上是增函數．
所以g(x)>g(1)＝－3.
所以k的取值范圍是k≤－3.               10分
點評：本題考查了利用導數求函數單調區間和極值的方法，利用導數研究函數圖象解決根的個數問題的方法，不等式恒成立問題的解法