Question

在數列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達式，并加以證明；
(Ⅱ)設，求證：對任意的自然數都有.

Answer 1

(Ⅰ)  ， (Ⅱ)
所以
所以只需要證明
（顯然成立），所以命題得證

解析試題分析：(Ⅰ)容易求得：.          1分
故可以猜想.下面利用數學歸納法加以證明：
顯然當時，結論成立.                       2分
假設當；時（也可以），結論也成立，即
,.                                  3分
那么當時，由題設與歸納假設可知：
   4分
即當時，結論也成立，綜上，對,成立.       6分
(Ⅱ)，  8分
所以
.                              10分
所以只需要證明

（顯然成立）
所以對任意的自然數，都有.      12分
考點：數學歸納法及數列求和
點評：數學歸納法用來證明與正整數有關的題目，證明步驟：1，證明當時命題成立。2，假設當時命題成立，借此證明當是命題成立，綜上1，2得證；數列求和常用的方法有分組求和裂項相消求和錯位相減求和等