Question

(本題分12分）                        
定義.
（Ⅰ）求曲線與直線垂直的切線方程；
（Ⅱ）若存在實數使曲線在點處的切線斜率為,且,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）. (2)。

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，以及運用導數求解函數的最值問題的綜合運用。
（1）因為所求曲線的切線與直線垂直，故令
得得到，進而得到切線方程。
（2）函數
令,得
因切點為,故有，構造函數利用導數求解不等式轉化為在上有解來解決。
解：（1）函數，
依題意令①， -------------------------2分
因為所求曲線的切線與直線垂直，故令
得②，由①②知應取，得，切點為，
所求切線方程是，即.------------------4分
(2)函數
令,得
因切點為,故有-----------------6分
又,依題意有
所以
即---------------------8分
該不等式在上有解,即在上有解,
轉化為在上有解,-------- -------------10分
令,則,在上恒有
所以函數是上的減函數,
其最大值為,所以實數的取值范圍是--------------12分