Question

兩個具有線性相關關系的變量的一組數據為：

數據	1	2	3	…	n
變量x	x1	x2	x3	…	xn
變量y	y1	y2	y3	…	yn

   將以上數據，以x為自變量，y為因變量，得回歸方程為=bx+a；將y為自變量，x為因變量，得回歸方程為=b′y+a′．
定義兩個變量的相關關系數r的計算公式為r=，它可表示兩個變量線性關系的強弱．
試問r能否用上述兩方程中的b,a與b′,a′表示？如能，怎樣表示？

Answer 1

   在方程=bx+a中b=,在方程=b′y+a′中b′=,
于是bb′=. ==r².
故r=,
即r能用b,b′表示，且r=．

   本題容易產生兩個錯答案
錯解一：因為兩組變量一旦確定后，兩組變量間的相關關系也隨之確定了，故r不是隨b,a，b′,a′的變化而變化的，于是r不能用b,a及b′,a′表示．
錯解二：因為b為回歸方程的斜率，a為截距，斜率與截距的取值范圍均為R，而相關系數r的取值范圍為［-1,1］，它們的取值范圍不一樣，因而r不能用b,a及b′,a′表示．
產生這種錯解的原因是：當變量確定后，r是隨之而確定了，但b,a及b′, a′也?隨之而定了，上述錯解一中視以上四個系數在變化，因而誤認為r與它們無關而發生了錯誤．對于錯解二，雖然對b與a及r的范圍的說法均是正確的，但未曾注意到兩個方程之間的相關關系，即系數b,a與b′,a′并不是兩組完全獨立的變量，因而也造成了解答的錯誤．