Question

設不等式組所表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點個數為a_n(n∈N^*)(整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)記數列{a_n}的前n項和為S_n，且T_n＝.若對于一切的正整數n，總有T_n≤m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝3n(n∈N^*)（2）m≥.

(1)由x＞0，y＞0，3n－nx＞0，得0＜x＜3.
∴x＝1，或x＝2.∴D_n內的整點在直線x＝1和x＝2上．
記直線y＝－nx＋3n為l，l與直線x＝1、x＝2的交點的縱坐標分別為y₁，y₂.
則y₁＝－n＋3n＝2n，y₂＝－2n＋3n＝n.∴a_n＝3n(n∈N^*)．
(2)∵S_n＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，
∴T_n＝，∴T_n＋1－T_n＝，
∴當n≥3時，T_n＞T_n＋1，且T₁＝1＜T₂＝T₃＝.
于是T₂，T₃是數列{T_n}中的最大項，故m≥.