Question

已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱 為“一階比增函數”.
(Ⅰ) 若是“一階比增函數”，求實數的取值范圍；
(Ⅱ) 若是“一階比增函數”，求證：，；
（Ⅲ）若是“一階比增函數”，且有零點，求證：有解.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小題關鍵是先得到，
（Ⅲ）本小題要結合(Ⅱ)的結論來證明。

試題分析：解：（I）由題在是增函數，
由一次函數性質知
當時，在上是增函數，
所以 
（Ⅱ）因為是“一階比增函數”，即在上是增函數，
又，有，
所以，                 
所以，
所以   
所以                              
（Ⅲ）設，其中.
因為是“一階比增函數”，所以當時，
取，滿足，記
由（Ⅱ）知，同理，
所以一定存在，使得，
所以一定有解                             
點評：證明函數在區間上為增（減）函數的方法是：令，若
（），則函數為增（減）函數。