Question

（2012•重慶）已知f（x）是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數”是“f（x）為[3，4]上的減函數”的（　　）

A．既不充分也不必要的條件

B．充分而不必要的條件

C．必要而不充分的條件

D．充要條件

Answer 1

分析：由題意，可由函數的性質得出f（x）為[-1，0]上是減函數，再由函數的周期性即可得出f（x）為[3，4]上的減函數，由此證明充分性，再由f（x）為[3，4]上的減函數結合周期性即可得出f（x）為[-1，0]上是減函數，再由函數是偶函數即可得出f（x）為[0，1]上的增函數，由此證明必要性，即可得出正確選項

解答：解：由題意，f（x）是定義在R上的偶函數，f（x）為[0，1]上的增函數
所以f（x）為[-1，0]上是減函數
又f（x）是定義在R上的函數，且以2為周期
[3，4]與[-1，0]相差兩個周期，故兩區間上的單調性一致，所以可以得出f（x）為[3，4]上的減函數，故充分性成立，
若f（x）為[3，4]上的減函數，由周期性可得出f（x）為[-1，0]上是減函數，再由函數是偶函數可得出f（x）為[0，1]上的增函數，故必要性成立
綜上，“f（x）為[0，1]上的增函數”是“f（x）為[3，4]上的減函數”的充要條件．
故選D

點評：本題考查充分性與必要性的判斷，解題的關鍵是理解充分性與必要性證明的方向，即由那個條件到那個條件的證明是充分性，那個方向是必要性，初學者易搞不清證明的方向導致表述上出現邏輯錯誤，