Question

（2012•重慶）已知函數f（x）=ax³+bx+c在點x=2處取得極值c-16．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函數在點x=2處取得極值c-16，可得

f′(2)=0 f(2)=c-16

解此方程組即可得出a，b的值；
（II）結合（I）判斷出f（x）有極大值，利用f（x）有極大值28建立方程求出參數c的值，進而可求出函數f（x）在[-3，3]上的極小值與兩個端點的函數值，比較這此值得出f（x）在[-3，3]上的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函數在點x=2處取得極值c-16
∴

f′(2)=0 f(2)=c-16

，即

12a+b=0 8a+2b+c=c-16

，化簡得

12a+b=0 4a+b=-8

解得a=1，b=-12
（II）由（I）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，解得x₁=-2，x₂=2
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上為增函數；當x∈（-2，2）時，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上為減函數；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數；
由此可知f（x）在x₁=-2處取得極大值f（-2）=16+c，f（x）在x₂=2處取得極小值f（2）=c-16，
由題設條件知16+c=28得，c=12
此時f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值及利用導數求函數的極值，解第一小題的關鍵是理解“函數在點x=2處取得極值c-16”，將其轉化為x=2處的導數為0與函數值為c-16兩個等量關系，第二小時解題的關鍵是根據極大值為28建立方程求出參數c的值．本題考查了轉化的思想及方程的思想，計算量大，有一定難度，易因為不能正確轉化導致無法下手求解及計算錯誤導致解題失敗，做題時要嚴謹認真，嚴防出現在失誤．此類題是高考的常考題，平時學習時要足夠重視．