Question

已知函數（）．
（1）求函數的單調區間；
（2）函數在定義域內是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；
（3）若，當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，函數的單調增區間為；當時，函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）當時，函數有兩個不同的零點；當時，函數有且僅有一個零點；當時，函數沒有零點；（3）的取值范圍是．

試題分析：（1）首先求導：，再根據導數的符號確定其單調性．時，函數單調遞增；時，函數單調減；（2）首先分離參數.由，得.令（），下面就利用導數研究函數性質，然后結合圖象便可得知的零點的個數；（3）注意是一個確定的函數，為了弄清何時成立，首先弄清與的大小關系，然后利用（1）題的結果即可知道， 取何值時在上恒成立.
（1）由，則．
當時，對，有，所以函數在區間上單調遞增；
當時，由，得；由，得，
此時函數的單調增區間為，單調減區間為．
綜上所述，當時，函數的單調增區間為；
當時，函數的單調增區間為，單調減區間為． 4分
（2）函數的定義域為，由，得（）， 5分
令（），則， 6分
由于，，可知當，；當時，，
故函數在上單調遞減，在上單調遞增，故． 7分
又由（1）知當時，對，有，即，
（隨著的增長，的增長速度越越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越越慢．則當且無限接近于0時，趨向于正無窮大.）
當時，函數有兩個不同的零點；
當時，函數有且僅有一個零點；
當時，函數沒有零點． 9分
（3）由（2）知當時，，故對，
先分析法證明：，． 10分
要證，，
只需證，
即證，
構造函數，則，
故函數在單調遞增，所以，則成立． 12分
當時，由（1），在單調遞增，則在上恒成立；
當時，由（1），函數在單調遞增，在單調遞減，
故當時，，所以，則不滿足題意．
所以滿足題意的的取值范圍是． 14分