Question

已知函數．
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為
（3）

解析試題分析：函數的定義域為，
． 1分
（Ⅰ）當時，函數，，．
所以曲線在點處的切線方程為，
即．4分
（Ⅱ）函數的定義域為．
（1）當時，在上恒成立，
則在上恒成立，此時在上單調遞減． 5分
（2）當時，，
（ⅰ）若，
由，即，得或； 6分
由，即，得．7分
所以函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為．   8分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增． 9分
（Ⅲ））因為存在一個使得，
則，等價于.10分
令，等價于“當 時，”. 
對求導，得.  11分
因為當時，，所以在上單調遞增. 13分
所以，因此.   14分
另解：設，定義域為，
.
依題意，至少存在一個，使得成立，
等價于當 時，.   10分
（1）當時，
在恒成立，所以在單調遞減，
只要，不滿足題意.  11分
（2）當時，令得.
（ⅰ）當，即時，
在