Question

（2012•嘉定區三模）已知數列{a_n}的各項均為正數，其前n項的和為S_n，滿足(p-1)Sn=p2-an（n∈N*），其中p為正常數，且p≠1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數M，使得當n＞M時，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出使結論成立的p的取值范圍和相應的M的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）若p=

1

2

，設數列{b_n}對任意n∈N*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+bna1=2n-

1

2

n-1，問數列{b_n}是不是等差數列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數列是等比數列，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由題意，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等價于(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76，分類討論，即可求得結論；
（3）假設存在，利用錯位相減法，即可求得結論．

解答：解：（1）因為(p-1)Sn=p2-an，所以當n≥2時，(p-1)Sn-1=p2-an-1，
兩式相減得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

p

，
所以數列{a_n}為等比數列，公比為

1

p

，
又當n=1時，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa₁=p²，
因為p＞0，所以a₁=p，
所以{a_n}的通項公式為：a_n=p•(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2；
（2）由（1）知，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=p•(

1

p

)2•(

1

p

)5•…•(

1

p

)3n-4=(

1

p

)

n(3n-5)

2

，a₇₈=(

1

p

)76，
∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等價于(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)76
p為正常數，且p≠1，所以當0＜p＜1時，

1

p

＞1，∴

n(3n-5)

2

＞76，解得n＜-

19

3

或n＞8，
故存在最小值為8的M，使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立；
當p＞1時，0＜

1

p

＜1，所以

n(3n-5)

2

＜76，解得-

19

3

＜n＜8，不合題意，
綜合可得：當0＜p＜1時，所求M的最小值為8；
（3）p=

1

2

時，a_n=2^n-2，設存在數列{b_n}是等差數列，其通項為b_n=kn+b，則
∵b₁•2^n-2+b₂•2^n-3+…+b_n-1+bn•2-1=2n-

1

2

n-1，
∴b₁•2^n-1+b₂•2^n-2+…+2b_n-1+bn=2n+1-n-2，
兩式相減可得b₁•2^n-1+k（2^n-2+2^n-3+…+1）-

1

2

b_n=2n-

n

2

-1
∴(k+

b

2

)•2n-

k

2

n-(k+

b

2

)=2n-

n

2

-1
∴

k+ b 2 =1 k=1

∴k=1，b=0
∴b_n=n，
即存在數列{b_n}是等差數列，其通項為b_n=n，對任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+bna1=2n-

1

2

n-1，

點評：本題為等差、等比數列與不等式的綜合應用，考查錯位相減法的運用，考查分類討論的數學思想，屬中檔題．