Question

已知函數（）．
(1)求的單調區間；
⑵如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值；
⑶討論關于的方程的實根情況．

Answer 1

(1)單調增區間是，單調減區間是；(2)；(3)見解析.

試題分析：(1)先由對數函數的定義求出函數的定義域，然后求出函數的導數，結合函數的單調性與導數的關系求解；(2)先寫出切點處的切線的斜率，然后根據已知條件得到，則有，結合二次函數在區間上的圖像與性質，可得的最小值；(3)根據已知條件構造函數，將方程的實根的情況轉化為函數的零點問題.由函數單調性與導數的關系可知，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，即最大值是，分三種情況進行討論：當，函數的圖象與軸恰有兩個交點；當時，函數的圖象與軸恰有一個交點；當時，函數的圖象與軸無交點.由方程的根與函數零點的關系得解.
試題解析：(1)，定義域為，
則，
∵，
由得，；由得，.
∴函數的單調增區間是，單調減區間是.                 2分
(2)由題意，以為切點的切線的斜率滿足：
，
所以對恒成立．
又當時，，
所以的最小值為.                                7分．
(3)由題意，方程化簡得：
.
令，則．
當時，；當時，.
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
所以在處取得極大值即最大值，最大值為．
所以當，即時，的圖象與軸恰有兩個交點，
方程有兩個實根；
當時，的圖象與軸恰有一個交點，
方程有一個實根；
當時，的圖象與軸無交點，
方程無實根.                     12分