Question

新晨投資公司擬投資開發(fā)某項新產(chǎn)品，市場評估能獲得萬元的投資收益.現(xiàn)公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不低于萬元，同時不超過投資收益的.
（1）設(shè)獎勵方案的函數(shù)模型為，試用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型的基本要求.
（2）下面是公司預設(shè)的兩個獎勵方案的函數(shù)模型：
①；    ②
試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)題中的條件對函數(shù)的基本要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言；（2）對題中的兩個函數(shù)是否滿足（1）中的三個限制條件進行驗證，對于函數(shù)上述兩個函數(shù)是否滿足題中的條件，主要是研究函數(shù)的單調(diào)性與最值以及恒成立問題，可以利用基本函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)來進行求解.
試題解析：（1）由題意知，公司對獎勵方案的函數(shù)模型的基本要求是：
當時，
①是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立；
（2）①對于函數(shù)模型：當時，是增函數(shù)，
則顯然恒成立；
而若使函數(shù)在上恒成立，整理即恒成立，而，
∴不恒成立．故該函數(shù)模型不符合公司要求.
②對于函數(shù)模型：
當時，是增函數(shù)，則．∴恒成立．
設(shè)，則.
當時，，
所以在上是減函數(shù)，
從而.
∴，即，∴恒成立．
故該函數(shù)模型符合公司要求．
考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)不等式