Question

對于數列，定義“變換”：將數列變換成數列，其中，且.這種“變換”記作.繼續對數列進行“變換”，得到數列，依此類推，當得到的數列各項均為時變換結束．
（Ⅰ）試問經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）設，．若，且的各項之和為．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若數列再經過次“變換”得到的數列各項之和最小，求的最小值，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：數列不能結束，各數列依次為；；；；；…．
以下重復出現，所以不會出現所有項均為的情形．            ………3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因為的各項之和為，且，所以為的最大項，
所以最大，即，或． …………5分
當時，可得
由，得，即，故．…7分
當時，同理可得，．    ………8分         
（ⅱ）方法一：由，則經過次“變換”得到的數列分別為：；；；；；．
由此可見，經過次“變換”后得到的數列也是形如“”的數列，與數列“結構”完全相同，但最大項減少12．
因為，
所以，數列經過次“變換”后得到的數列為．
接下來經過“變換”后得到的數列分別為：；；；；；
；，……
從以上分析可知，以后重復出現，所以數列各項和不會更小．
所以經過次“變換”得到的數列各項和最小，的最小值為．
……………13分
方法二：若一個數列有三項，且最小項為，較大兩項相差，則稱此數列與數列 “結構相同”．
若數列的三項為，則無論其順序如何，經過“變換”得到的數列的三項為(不考慮順序) ．
所以與結構相同的數列經過“變換”得到的數列也與結構相同，除外其余各項減少，各項和減少．
因此，數列經過次“變換”一定得到各項為 (不考慮順序)的數列．
通過列舉，不難發現各項為的數列，無論順序如何，經過“變換”得到的數列會重復出現，各項和不再減少．
所以，至少通過次“變換”，得到的數列各項和最小，故的最小值為．
……………13分

略