Question

已知函數，其圖象在點 處的切線方程為
(1)求的值；
(2)求函數的單調區間，并求出在區間[－2,4]上的最大值．

Answer 1

(1) a＝1，b＝. (2)8.

解析試題分析：(1)f′(x)＝x²－2ax＋a²－1，       2分
∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，  3分
∵(1,2)在y＝f(x)的圖象上，∴2＝－a＋a²－1＋b，
又f′(1)＝－1，∴a²－2a＋1＝0，
解得a＝1，b＝.              6分
(2)∵f(x)＝x³－x²＋，∴f′(x)＝x²－2x，
由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的極值點，所以有

x	(－∞，0)	0	(0,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

                              8分
所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)和(2，＋∞)，單調遞減區間是(0,2)．    10分
∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在區間[－2,4]上的最大值為8.               13分
考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的最值。
點評：我們要靈活應用導數的幾何意義求曲線的切線方程，尤其要注意切點這個特殊點，充分利用切點即在曲線方程上，又在切線方程上，切點處的導數等于切線的斜率這些條件列出方程組求解。屬于基礎題。