Question

設數列{a_n}的前n項和S_n=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常數且b≠0.
(1)證明:{a_n}是等差數列.
(2)證明:以(a_n,－1)為坐標的點P_n(n=1,2,…)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程.
(3)設a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r＞0)，求使得點P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍.

Answer 1

(1)證明略(2)證明略(3)r的取值范圍是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞)

 由條件，得a₁=S₁=a,當n≥2時，
有a_n=S_n－S_n－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.
因此，當n≥2時，有a_n－a_n－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.
所以{a_n}是以a為首項，2b為公差的等差數列.
(2)證明:∵b≠0,對于n≥2,有
∴所有的點P_n(a_n,－1)(n=1,2,…)都落在通過P₁(a,a－1)且以為斜率的直線上。 此直線方程為y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0.
(3)解: 當a=1,b=時，P_n的坐標為(n,),使P₁(1,0)、P₂(2,)、P₃(3,1)都落在圓C外的條件是
                   
由不等式①,得r≠1
由不等式②，得r＜－或r＞+
由不等式③，得r＜4－或r＞4+
再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+
故使P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).