Question

已知數列的前項和為，若，
⑴證明數列為等差數列，并求其通項公式；
⑵令，①當為何正整數值時，：②若對一切正整數，總有，求的取值范圍.

Answer 1

(1)證明詳見解析，；（2）①，②.

試題分析：（1）關于和的遞推式，一般有兩種方法可解決，1：轉化為項的遞推式，根據遞推式 直接求通項公式，2：轉化為的遞推關系，先求，再求通項公式，該題已知數列前n項和和的遞推關系，由可的與的關系，然后由等差數列定義證明，知道等差數列后再求通項公式；
（2）①將代入不等式，解不等式可得，②恒成立問題往往可以采取參變分離的方法，或的形式，最后轉化為求函數最值，即或,該題可轉化為求的最大值問題,求的最大值可以結合函數的函數或者單調性處理，但是注意定義域.
試題解析：（1）令，，即，由

∵，∴，
即數列是以2為首項，2為公差的等差數列， ∴ 
（2）①，即  ②∵，又∵時，
∴各項中數值最大為，∵對一切正整數，總有恒成立，因此.