Question

、已知向量="(1,2)," =(-2,1)，k,t為正實數，向量 = +(t+1), =-k+
（1）若⊥,求k的最小值；
（2）是否存在正實數k、t,使∥?  若存在,求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）x=a+(t
由x⊥y,得x·y=0,即（-2t
整理得k= ∵t＞0,∴k=≥2=2，當且僅當t=1時，k=2.
所以k的最小值為2.
(2)假設存在正實數k,t使x∥y,則(-2t-1)(-2k+ 整理得tk(t+1)+1=0.
滿足上述等式的正實數k、t不存在，所以不存在正實數k、t,使x∥y.

（1）利用⊥坐標化后建立關于k的方程，然后用t表示出k,從而得到k關于t的函數關系式，再考慮采用函數求最值的方法求k的最值.
(II) 假設存在正實數k,t使,則(-2t-1)(-2k+然后得到關于k,t的方程，判斷此方程是否有解即可.
（1）x=a+(t
由x⊥y,得x·y=0,即（-2t
整理得k= ∵t＞0,∴k=≥2=2，當且僅當t=1時，k=2.
所以k的最小值為2.
(2)假設存在正實數k,t使x∥y,則(-2t-1)(-2k+ 整理得tk(t+1)+1=0.
滿足上述等式的正實數k、t不存在，所以不存在正實數k、t,使x∥y.