Question

已知函數，其中a，b∈R
(1)當a＝3，b＝－1時，求函數f(x)的最小值；
(2)若曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為2x－3y－e＝0(e＝2.71828 為自然對數的底數)，求a，b的值；
(3)當a＞0，且a為常數時，若函數h(x)＝x[f(x)＋lnx]對任意的x₁＞x₂≥4，總有成立，試用a表示出b的取值范圍.

Answer 1

(1)；(2)；(3)時，，時，

試題分析：(1)利用導數判斷出函數的單調性，即可求出的最小值；(2)要注意給出某點處的切線方程，就既有該點的坐標，也有該點出切線的斜率，利用這兩個條件可求出a與b的值；(3)解決本題的關鍵是由“對任意的x₁＞x₂≥4，總有成立”轉化出“在上單調遞增”，從而再次轉化為導函數大于0的問題求解.解題過程中要注意對參數的合理分類討論.
試題解析：(1)當a＝3，b＝－1時，
∴
∵x＞0，∴0＜x＜時f  '(x)＜0，x＞時，f '(x)＞0
即在上單調遞減，在上單調遞增
∴在處取得最小值
即          4分
(2)∵
∴  (1)
又切點(e，f(e))在直線2x－3y－e＝0上
∴切點為
∴  (2)
聯立(1)(2)，解得.          8分
(3)由題意，對任意的x₁＞x₂≥4，總有成立
令
則函數p(x)在上單調遞增
∴在上恒成立
∴在上恒成立          10分
構造函數
則
∴F(x)在上單調遞減，在上單調遞增
(i)當，即時，F(x)在上單調遞減，在上單調遞增
∴
∴，從而          12分
(ii)當，即時，F(x)在(4，＋∞)上單調遞增
，從而          13分
綜上，當時，，時，      14分