Question

設函數.
（1）當時，求函數的最大值；
（2）令其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當，，方程有唯一實數解，求正數的值.

Answer 1

（1）函數的最大值為；（2）實數的取值范圍是；（3）.

試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導數求出函數的最大值；（2）先求出函數的解析式，利用導數將問題轉化為對任意恒成立的問題來處理，利用二次函數的最值的求法求的最大值，從而得到實數的取值范圍；（3）將問題等價轉化為函數在定義域上只有一個零點來處理，結合導數來研究函數的單調性，利用極值與最值的關系求出正數的值.
試題解析：（1）依題意，知的定義域為，
當時，，      2分
令，解得
因為有唯一解，所以，當時，，此時單調遞增；
當時，，此時單調遞減。
所以的極大值為，此即為最大值        4分
（2），則有在上恒成立，
∴≥，             
當時，取得最大值，所以≥     8分
（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則令，
因為所以（舍去），，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
當時，，取最小值.     10分
則 即 
所以因為所以     12分
設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解為，即，解得   14分