Question

（本小題滿分14分）
已知函數，(e為自然對數的底數)
（Ⅰ）當a=1時，求函數f(x)的單調區間；
（Ⅱ）若函數f(x)在上無零點，求a的最小值；
（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）的單調減區間為單調增區間為
（Ⅱ）若函數在上無零點，則的最小值為；
（III）當時，對任意給定的在上總存在兩個不同的，使成立．

(I)當a=1時，解析式確定直接利用得到函數f(x)的增（減）區間.
（II）解本小題的關鍵是先確定在上恒成立不可能，故要使函數在上無零點，只要對任意的恒成立，即對恒成立．
再構造函數利用導數求l(x)的最大值即可.
（III）解本小題的突破口是當時，函數單調遞增；當時，函數 單調遞減.
所以，函數當時，不合題意；再確定時的情況.
解：（Ⅰ）當時，由
       
故的單調減區間為單調增區間為         ………………………………4分
（Ⅱ）因為在上恒成立不可能，故要使函數在上無零點，
只要對任意的恒成立，即對恒成立．          
令則再令
在上為減函數，于是
從而，，于是在上為增函數
故要使恒成立，只要
綜上，若函數在上無零點，則的最小值為……………………8分
（III）當時，函數單調遞增；
當時，函數 單調遞減
所以，函數當時，不合題意；
當時，  
故必需滿足  ①
此時，當 變化時的變化情況如下：

	—	0	+
	單調減	最小值	單調增

∴對任意給定的，在區間上總存在兩個不同的
使得成立，當且僅當滿足下列條件② ③

令 
令，得
當時， 函數單調遞增；當時，函數單調遞減．
所以，對任意有即②對任意恒成立． 
由③式解得：    ④             
綜合①④可知，當時，對任意給定的在上總存在兩個不同的，使成立．………………………………14分