Question

（本題滿分15分）已知函數（）
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）當時，設，若存在,，使，
求實數的取值范圍。為自然對數的底數，

Answer 1

（Ⅰ）當時，的減區間為，增區間為（。
當時，的減區間為。
當時，的減區間為，
增區間為。
（Ⅱ）。

本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數單調性的方法及推理和運算能力．
（Ⅰ）首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調區間的關系對k的大小進行分類討論，進而確定函數的單調性．
（Ⅱ）根據函數的增減區間確定函數的最大值，從而解出a取值范圍．
解：（Ⅰ），。 ………………1分
令
?當時，,的減區間為，增區間為（。……2分
?當時，
所以當時，在區間上單調遞減。………………4分
當時，，
，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，                ……………………7分
所以當時，的減區間為，增區間為（。
當時，的減區間為。
當時，的減區間為，
增區間為。       ……………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值為， ………10分
令，得
時，，單調遞減，
時，，單調遞增，                ……………………12分
所以在上的最小值為，      ……………………13分
由題意可知，解得            ………………14分
所以                 ……………15分