Question

已知，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設(shè)直線與、均相切，切點分別為（）、（），且，求證：.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ)見解析.

解析試題分析：(Ⅰ)先構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求得函數(shù)的最小值是，找到關(guān)系；再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求得函數(shù)的最小值是，找到關(guān)系.從而證得“”；(Ⅲ)先求出以及，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系，由斜率不變得到，再根據(jù)兩點間的斜率公式得到.首先由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，然后由得到，解得.
試題解析：（Ⅰ）令，.          1分
令，解得.
當(dāng)時，；當(dāng)，時.
∴當(dāng)時，，
∴.                                            3分
令，.           4分
令，解得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
∴當(dāng)時，，
∴，                                    6分
∴.                                  7分
（Ⅲ），，切點的坐標(biāo)分別為，可得方程組：
         11分
∵，
∴，∴，
∴.                            12分
由②得，，∴，         13分
∵，∴，∴，即，
∴.                    14分
考點：1.分類討論思想；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；3.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；4.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；5.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程