Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數在區間上是減函數，求實數的最小值；
（Ⅲ）若存在（是自然對數的底數）使，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）函數的減區間是,增區間是；
（Ⅱ）的最小值為；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）求出的導數，由的符號確定的單調區間；
（Ⅱ）求出的導數，由在上恒成立求得實數的最小值；（Ⅲ）注意左右兩邊的自變量是獨立的.若存在使成立，則.故首先求出然后解不等式求實數的取值范圍.
試題解析：解：（Ⅰ）由得, 且,則函數的定義域為,
且,令,即,解得
當且時, ;當時,
函數的減區間是,增區間是                           4分
（Ⅱ）由題意得：函數在上是減函數，
在上恒成立，即在上恒成立
令，因此即可

當且僅當，即時取等號
因此，故的最小值為.                             8分
（Ⅲ）命題“若存在，使，”等價于
“當時，有”，
由（Ⅱ）得，當時，，則，
故問題等價于：“當時，有”，
,由（Ⅱ）知,
（1）當時，在上恒成立，因此在 上為減函數，則,故,
（2）當時，在上恒成立，因此在上為增函數，
則