Question

已知函數是偶函數．
（1）求實數的值；
（2）設函數，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1），（2）.

解析試題分析：（1）因為函數是偶函數，所以有等量關系，本題難點在化簡對數式，由易得，關鍵會化簡，（2）本題第一個難點是化簡方程，即，這里主要會化簡從而再利用對數性質運算得：；第二個難點是“方程只有一個根”轉化為“二次方程只有一個正根”，這需明確指數函數的范圍，即；第三個難點是分類討論二次方程只有一個正根的情形的等價條件.主要是兩個不等根的情況討論,需結合運用韋達定理.
試題解析：解：（1）由題意知：任意有，
即恒成立．
∴恒成立，化簡得對恒成立，∴．      5分
（2）∵函數與的圖象有且只有一個公共點，
∴方程有且只有一個實根，
化簡得：方程有且只有一個實根，
令，則方程有且只有一個正根.                  7分
①當時，不合題意；                                           8分
②當時，
(ⅰ)若，則.
若，則不合題意；若，則合題意；                  10分
(ⅱ)若即時，
由題意，方程有一個正根與一個負根，即，解得，∴.       12分
綜上所述，實數的取值范圍是.                              13分
考點：偶函數性質應用，二次方程根的個數.