Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1對任意實數x∈[-1，1]恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）原不等式等價于x²-2ax+2a+1＞0對任意的實數x∈[-1，1]恒成立，設g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1，只需g_min（x）＞0即可．
（2）不等式f（x）＞1即為ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0轉化為二次不等式求解，注意分類討論．

解答：解：（1）原不等式等價于x²-2ax+2a+1＞0對任意的實數x∈[-1，1]恒成立，
設g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①當a＜-1時，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②當-1≤a≤1時，gmin(x)=g(a)=-a2+2a+1＞0，得-1-

2

＜a≤1；
③當a＞1時，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
綜上a＞1-

2

（3）不等式f（x）＞1即為ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因為a＜0，所以(x-1)(x+

a+1

a

)＜0，因為 1-(-

a+1

a

)=

2a+1

a

所以當-

1

2

＜a＜0時，1＜-

a+1

a

，解集為{x|1＜x＜-

a+1

a

}；
當a=-

1

2

時，（x-1）²＜0，解集為?；
當a＜-

1

2

時，1＞-

a+1

a

，解集為{x|-

a+1

a

＜x＜1}

點評：本題考查二次函數性質和一元二次不等式的解法，分類討論思想，均屬基本知識和能力．