Question

（2011•靜�？h一模）已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，

Sn

是

1

4

與(an+1)2的等比中項．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若cn=

an

bn+3

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

Sn

是

1

4

與(an+1)2的等比中項，可得Sn=

1

4

(an+1)2，再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）確定數列{b_n+3}是公比為2的等比數列，即可求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）利用錯位相減法，即可求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：（Ⅰ）證明：∵

Sn

是

1

4

與(an+1)2的等比中項，
∴Sn=

1

4

(an+1)2
∴n≥2時，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2
兩式相減可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵數列各項為正
∴a_n-a_n-1=2
∵n=1時，S1=

1

4

(a1+1)2
∴a₁=1
∴數列{a_n}是以1為首項，公差為2的等差數列
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）解：∵b_n=2b_n-1+3，∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∴數列{b_n+3}是公比為2的等比數列
∵b₁=a₁=1，
∴b₁+3=4，∴b_n+3=2ⁿ⁺¹
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅲ）解：在（Ⅱ）的條件下，cn=

an

bn+3

=

2n-1

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

∴

1

2

T_n=

1

23

+

3

24

+…+

2n-1

2n+2

兩式相減可得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

2

2n+1

-

2n-1

2n+2

=

3

4

-

2n+5

2n+2

∴T_n=

3

2

-

2n+5

2n+1

．

點評：本題考查等差數列的判定，考查數列的通項與求和，看下錯位相減法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．