Question

（12分）已知函數，曲線在點處的切線方程為。
（1）求，的值；
（2）如果當，且時，，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ），。（Ⅱ）k的取值范圍為（-，0]

解析試題分析：（1）由函數，曲線在點處的切線方程為，可知f’(1)="-" ,f(1)=1,進而得到參數a,b的值。
（2）構造函數，對于參數k分類討論得到參數的取值范圍。
（Ⅰ）
由于直線的斜率為，且過點，故即
          解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考慮函數，則
。
(i)設，由知，當時，。而，故
當時，，可得；
當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0
從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）設0<k<1.由于當x（1，）時，（k-1）（x² +1）+2x>0,故 (x）>0,而
h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。
（iii）設k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。
綜合得，k的取值范圍為（-，0]
考點：本試題主要考查了導數的幾何意義的運用，以及寒素的最值的運用。
點評：解決該試題的關鍵是利用導數的幾何意義得到參數a,b的值，得到解析式。
要證明不等式恒成立，要構造整體的函數，利用導數判定單調性得到參數k的范圍。