Question

（本小題14分）設函數.
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）已知，若函數的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；
（Ⅲ）記為函數的導函數．若，試問：在區間上是否存在（）個正數…，使得成立？請證明你的結論.

Answer 1

（1）當時，的遞增區間是；當時，在上單調遞增；在上單調遞減
（2）（3）存在，證明見解析

解析試題分析：
（Ⅰ），                   ……2分
①當時，恒成立，故的遞增區間是；         ……3分
②當時，令，則.
當時，；當時，.
故在上單調遞增；在上單調遞減； ……6分
（Ⅱ）由上述討論，當時，為函數的唯一極大值點，
所以的最大值為=.                  ……8分
由題意有，解得.
所以的取值范圍為.                                     ……10分
（Ⅲ）當時，.    記，其中.
∵當時，，∴在上為增函數，
即在上為增函數.                                    ……12分
又，所以，對任意的，總有.
所以，
又因為，所以.
故在區間上不存在使得成立的（）個正數….                                ……14分
考點：本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．
點評：對于題目條件較復雜，設問較多的題目審題時，應該細致嚴謹，將題目條件條目化，一一分析，細心推敲.對于設問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯系，使問題化難為易，層層解決.