Question

（本小題滿分15分）
已知函數
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.
（ⅰ）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍；
（ⅱ）若是兩個不相等的正數，且，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）當時，增區間是；當時，增區間是，遞減區間是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）

設，則t>0，，,令，得，在（0，1）單調遞減，在單調遞增，.

試題分析：（Ⅰ）f(x)的定義域為，  ，………………1分
令，，
①當時，在恒成立，f(x)遞增區間是；………3分
②當時，,又x>0, 遞增區間是，遞減區間是.         ………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ）
設,
化簡得：,  ………………7分
,
，在上恒成立，在上單調遞減，
所以，,即的取值范圍是 .………………9分
（ⅱ），在上單調遞增,

,   ……11分
設，則t>0，，,
令，得，在（0，1）單調遞減，在單調遞增,………13分

，.        ………………………14分
點評：本題第一問中求單調區間需要對參數分情況討論從而確定導數的正負；第二問中關于不等式恒成立問題常轉化為求函數最值問題