Question

在△ABC中，點B(－6，0)、C(0，8)，且sinB、sinA、sinC成等差數列．

(1)求證：頂點A在一個橢圓上運動．

(2)指出這個橢圓的焦點坐標以及焦距．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：由題意得sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理，得sinB＝，sinC＝，sinA＝，所以有b＋c＝2a，即|AC|＋|AB|＝2|BC|(＞|BC|)，所以頂點A到定點B、C的距離的和是常數(大于|BC|)，頂點A在一個橢圓上運動． 　　(2)這個橢圓的焦點坐標分別是(－6，0)、(0，8)，焦距是10． 　　解析：本題依據等差數列的定義以及結合正弦定理將已知轉化為相應的邊間的關系，再利用橢圓的定義將問題解決．

提示：

有關證明或判定動點的軌跡是橢圓這樣的問題，可以緊緊圍繞著相應的橢圓的定義，去探尋相應的動點到某兩個定點的距離的和等于一個常數，并且注意這個常數與這兩個定點之間的距離的大小關系，從而確定．