Question

在△ABC中，點B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
（1）求邊AC的直線方程；
（2）圓M：x²+（y+1）²=r²（1≤r≤3），自點C向圓M引切線CF，CG，切點為F、G．求：的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設AB中點坐標為D（x，y），∵點B（0，1），則A點坐標為（2x，2y-1），把D（x，y）代入直線CE方程，把A點坐標（2x，2y-1）代入角A的平分線方程，求出x，y
的值，可得A點坐標．再由B點關于2x-y-4=0的對稱點（4，-1）在直線AC上，由兩點式求直線AC的方程．
（2）把CE和AC的方程聯立方程組求出點C的坐標，利用兩個向量的數量積的定義求出=，再由二次函數的性質求得的最大值和最小值，
從而得到 的取值范圍．
解答：解：（1）設AB中點坐標為（x，y），∵點B（0，1），則A點坐標為（2x，2y-1）．
依題意得，解之得：，∴A（-2，-8），
由于B點關于2x-y-4=0的對稱點（4，-1）在直線AC上．∴直線AC的方程為 ，即 7x-6y-34=0．
（2）由   解得，即C（4，-1），又 圓心M（0，-1），
∴==（16-r²）cos2∠CFM=（16-r²）（1-2sin²∠GCM）=，
∵1≤r≤3，∴1≤r²≤9，由單調性得 =，=．
∴的取值范圍為．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，用兩點式求直線方程，圓的切線性質，以及在閉區間上求二次函數的最值，屬于中檔題．