Question

稱滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：
①；②.
（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比q及的通項公式；
（2）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記n階“期待數列”的前k項和為：
（i）求證：；
（ii）若存在使，試問數列能否為n階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）．或；
（2）；
（3）（i）證明見解析；（ii）不能，證明見解析．

解析試題分析：（1）數列中等比數列，因此是其前和，故利用前前項和公式，分和進行討論，可很快求出，或；（2）階等差數列是遞增數列，即公差，其和為0，故易知數列前面的項為負，后面的項為正，即前項為正，后項為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項公式可得；（3）（i）我們只要把數列中所有非負數項的和記為，所有負數項的記為，則，不可能比小，同樣不可能比大，即，得證；（ii）若，則一定有，，且，若數列為n階“期待數列”，設其前項和為，首先，而，，因此，即，，從而，于是，那么，矛盾出現了，故結論是否定的．
試題解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．     1分
若，則由①=0，得，     3分
由②得或．
所以，．數列的通項公式是
或            4分
（2）設等差數列的公差為，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，
由①、②得，，     6分
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴數列