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給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ）過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．求出的值．

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】 （1）中據橢圓定義及伴橢圓定義容易求出方程；

（2）線與橢圓只有一個交點即直線與橢圓相切，，

截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，利用直線與圓弦心距，點到直線距離公式，表示出弦長

解：（Ⅰ）由題意得：得，半焦距．．．．2分

則橢圓的方程為 “伴隨圓”的方程為

（Ⅱ）設過點，且與橢圓有一個交點的直線為，

則　　整理得．．．．．．．．．2分

所以，解 ①．．．．．．．．4分

又因為直線截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，

則有   化簡得   ②  ．．．．6分

聯立①②解得，，所以

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2012-2013學年四川成都龍泉驛區5月高三押題試卷文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.

(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；

(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年河北省高三第二次模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.

（Ⅱ）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點，求證：為定值.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省濰坊市高三2月月考理科數學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是

橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距

離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.

（Ⅱ）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢

圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點；

（1）當為“準圓”與軸正半軸的交點時，求的方程.

（2）求證：為定值.

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數學文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

給定橢圓：  ，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ） 過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．求出的值．

 

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