給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為
，且其短軸上的一個端點到
的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．
(Ⅰ) 
，
；(Ⅱ)垂直.
【解析】
試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標求出
，利用短軸上的一個端點到
的距離為
，求出
，解出
，
，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準圓的半徑，直接寫出準圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當
中有一條直線的斜率不存在時，②當的斜率都存在時.
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為.
2分
易知準圓半徑為
，
則準圓方程為.
4分
(Ⅱ)①當中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設
的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為
，
當的方程為
時，此時與準圓交于點
，
，
此時經過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是
或
，
即
為或，顯然直線垂直；
6分
同理可證直線的方程為
時，直線也垂直． 7分
②當的斜率都存在時，設點
，其中
.
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，
由
消去
，得
.
由
化簡整理得，
. 因為，
所以有
.
10分
設直線的斜率分別為
，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足方程，
所以
，即垂直．
12分
綜合①②知，垂直． 13分
考點：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.
智慧小復習系列答案科目：高中數學 來源：2012-2013學年河北省高三第二次模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本題滿分12分）給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
的距離為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.
（Ⅱ）點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源：2012年山東省高考模擬預測卷（四）文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
給定橢圓
：
，稱圓心在坐標原點
，半徑為
的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是
，橢圓上一動點
滿足
．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）過點P
作直線
,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為
．求出
的值．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省濰坊市高三2月月考理科數學 題型：解答題
（本小題滿分12分）
給定橢圓
：
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是
橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到
的距
離為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.
（Ⅱ）點
是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線
使得與橢
圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點
；
（1）當為“準圓”與
軸正半軸的交點時，求的方程.
（2）求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數學文卷 題型：解答題
（本小題滿分14分）
給定橢圓
：
，稱圓心在坐標原點
，半徑為
的圓是橢圓的“伴隨圓”．
已知橢圓的兩個焦點分別是
，橢圓上一動點
滿足
．
(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ） 過點P
作直線
,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為
．求出
的值．
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