已知函數
（1）判斷函數
的奇偶性；
（2）試用函數單調性定義說明函數在區間
和
上的增減性；
（3）若
滿足：
，試證明：
．
（1）偶函數，（2）在上是減函數，在上是增函數（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）判定函數奇偶性，首先判定函數定義域是否關于原點對稱，然后再判斷與
的相等或相反關系.本題定義域為一切實數，關于原點對稱.函數為分段函數，需分類討論. 當
時，
，
.當
時，
，.故為偶函數.（2）利用定義研究函數單調性，需注重作差后的變形，關鍵是提取公因式，進行因式分解，以便判斷符號.（3）由于是同區間的兩個任意數，所以只需證
，從而本題實質為求函數最值.由函數奇偶性及單調性知：
，所以成立.
試題解析：解：（1）∵當時，
，∴
∴ 2分
∵當時，
，∴
∴ 4分
∴對
都有，故為偶函數 5分
（2）當時，
設
且
，則
7分
∴當
時，
即
當
時，
即
9分
∴函數在區間上是減函數，在區間上是增函數 11分
（3）由（2）可知，當
時：
若
，則
即
若
，則
即
∴當時，有 12分
又由（1）可知為偶函數，∴當
時，有 13分
∴若
，
時，則
，
14分
∴
，
即
15分
考點：分段函數的奇偶性、單調性.
期末1卷素質教育評估卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
（
）
（1）若方程
有3個不同的根，求實數
的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在實數，使得
在
上恰有兩個極值點
，且滿足
，若存在，求實數的值，若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
(a>b>0)的左焦為F,右頂點為A,上頂點為B,O為坐標原點,M為橢圓上任意一點,過F,B,A三點的圓的圓心為(p,q).
(1).當p+q≤0時,求橢圓的離心率的取值范圍;
(2).若D(b+1,0),在(1)的條件下,當橢圓的離心率最小時,
的最小值為
,求橢圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
判斷下列對應是否是從集合A到集合B的函數．
(1) A＝B＝N*，對應法則f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；
(2) A＝[0，＋∞)，B＝R，對應法則f：x→y，這里y2＝x，x∈A，y∈B；
(3) A＝[1，8]，B＝[1，3]，對應法則f：x→y，這里y3＝x，x∈A，y∈B；
(4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，對應法則：對任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
對任意的
恒有
成立.
(1)記
如果
為奇函數，求b，c滿足的條件；
(2)當b=0時，記若在
）上為增函數，求c的取值范圍；
(3)證明：當
時，
成立；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-
.
(1)求證:f(x)在R上是減函數.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
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，
，
．
，試判斷并用定義證明函數
的單調性；
時，求證函數
.
，求
的解析式；
在
上恒成立，求實數
的取值范圍.